从流形的定义，

讲到Chern Class，

太震撼了，

五体投地，

长跪不起……

人送外号“王火箭”，

而本辣鸡是火箭掉落的残骸。

教材/参考书是GTM218, 王老师的主页

http://staff.ustc.edu.cn/~wangzuoq/Courses/16F-Manifolds/

有详细信息。

详细说说。这门课是我大学以来上过的内容最丰富，速度最快的一门课。根据助教楚爷的说法，他那年微分流形的内容大概只有今年的1/3。全英文授课，王老师流利而洪亮的Chinglish，时常萦绕在我的耳边（非黑）。这门课内容如此之多，自然需要水平很高的老师来驾驭。王老师上课经常是以一些我们已知的，或是经典的例子引入，再介绍定义，并且在课上举不少例子让我们直观理解所学的知识。作业题有一大半都是验证各种例子，例如，验证XXX拓扑不是Hausdoff的、验证XXX微分形式满足XXX、计算XXX的上同调群、验证李群XXX性质。当然，作业的量非常大，两周一次，一次八题，每题得有5问吧，甚至有一题有10问，是Milnor几十年前发表的证明毛球定理的一篇文章。总之，学下来的收获非常多，尽管上课跟不上、作业做不出是时常的事情，但这对数学系学生而言，应该是一种历练。

考试：

My Midterm is MUCH MUCH easier than the FINAL.

期中考试满分140，本科生44人，13人100+.研究生27人，1人100+。本硕平均分60多。

期末考试满分160，情况未知，是王火箭亲自批改。

给分：

这种课不建议讨论给分，不愿经历这种历练的同学可以退课。

微分流形课结束了，我的青春也结束了，本学期收获最多、最有意义的课，没有之一（尤其是和某些理论物理专业课对比的时候）。

听课最大的感受是，思路上能把握得很好，细节证明上大多数时候来不及思考；前者主要是火箭太强了，后者主要是身为物院人，数学基础太差（可能也有个人因素，反应迟钝，呜呜）。

如果说正常人听火箭讲课是用水泥一点一点浇筑一座高塔，那我就属于跟着他们搭脚手架，越往高处越难搭下去，而且摇摇晃晃不时跌落在地……

但即使站在这样“空芯”的脚手架上，我也的确见到了高处的风景。就如对张量的认识从矩阵到具有特定变换性质的物理量再到直积/直积丛的截面，对李群的认识从参数描写矩阵群到具有群结构的光滑流形，对定积分的认识从近似的很小的体积元到微分形式，每一次数学上的“飞升”都是美妙的体验，都是对世界观的洗礼。

最让我激动的是发现事物内禀属性的时候。比如由光滑结构、微分形式发展起来的de Rham上同调群居然是同伦不变量（不需要是光滑同伦）；比如由具体的光滑向量场引出的'index'和流形的欧拉示性数有紧密联系（但后者与那个向量场并无直接联系；其实这种向量场性质只由所在流形决定的情况从毛球定理就已见端倪）……

（作为一个数学基础极差的物理人来谈数学多少有点大言不惭）在我认知中数学已经不仅仅是物理学的“工具”，而是将逐渐或者已经成为物理学发展的灯塔（大概是从“引力即几何”开始）。我隐约看到数学中（尤其是几何学中）确实有我想追求的东西…

之前看到有评论说建议想学理论物理的转数院，还不知道为啥；同时学了妮可的量子场论和微分流形后，我懂了。。

旧评—————————————————

占坑。

理论物理人前来旁听，前面基本概念、切空间、映射的微分还能跟上，到了子流形、embedding就彻底听不懂了…等到向量场有个回光返照，后面等期末再补评（

非常建议理论物理人来旁听这门课（但是非常不建议选课，作业量巨大+很多听不懂，会很惨的），真正意义上“打开数学的大门”

出于各种各样的原因吧，相较于往年的话，21年火箭可能的确讲的内容要少一些，最后只讲到了de Rham理论的应用就结束了，当然了，老师最后一次课还是活活拖到了6点40，在黑板下潇洒地写下了Gauss-Bonnet-Chern定理，大吼一声：“我当初说过要讲到这里，欠的债一定要还！“让我有种在追热血番剧的感觉。所以讲的少也只是相对于往年吧，课程本身的容量还是不小的，单单是火箭的讲课，就值得选。

虽然大家都说相较于拓扑，流形的作业已经好很多了，但我还是被搞得每周都有那么一两个晚上血压很高，对于我这种初学者，218没怎么翻过的人，不少作业都是疯狂查阅资料搞定的。现在躺在家里看着那一叠A4纸，成就感还是有的，也感觉真的是收获了不少东西，也可以告诉自己：”我虽然有事没事摸鱼划水浪费生命，但至少每周一的晚上我都是在高血压中充实度过的。谢谢你，火箭。“

火箭的卷子也很有特色，至少我一个学的这么烂的人都觉得卷子很友善，平时花时间了就能写，也没什么搞心态的题，考的不好纯粹我自己太菜了以及考场犯病。期中还勉强像个人，期末是真的至暗时刻。查卷更搞笑，那天先是两连考，下午考完后去火箭办公室的时候里面只有火箭和两个助教了，四个人围在一起看着一张答得稀巴烂的卷子，emmmmm，反正后来我很好奇当时我怎么站得稳的。助教真的很善良，指着卷子和我说你看这个题，你写出来了，蛮难的，没几个人写对，emmmmm，看着他的大眼睛，我眼泪水都快流下来了，有种”我这么菜还出现在这里耽误你们时间还需要你花心思来安慰我真是不好意思生而为人我很抱歉“的感觉。回去的路上看着群里的期末分布，感叹一声，拖低19级的均分真是很抱歉。。。。

最后的给分那就是纯纯的感动，我真的找不到别的词来形容，这和老宋带给我的惊喜不一样。老宋那是就像抽卡，火箭这就是纯纯的恩情，纯纯的感动。尽管我在这门课上花了可能是我上大学到现在在一门课上最大的投入时间，但我是真觉得，至少我考出来的分数烂成那样，配不上优秀，然而火箭居然还是把我奶上去了，对此我只能说

谢谢你，火箭，你让我知道什么是人间有真情。

最后bb一下：如果是像我一样的大三小白来选，建议平时学习的时候注重例子，虽然理解定义和定理很重要，但是例子同样要得到重视，不然可能就会像我一样，考几题挂几题，最后只能抱着凄惨的卷子痛哭流涕呜呜呜呜。

先套个盾：🚀强我菜。

虽然我中途退课了，但不妨碍我打10分，但是请大家注意：

这是一门好课≠我一定要选

没错，我就是犯了这个错误，于是退课机会-1 。

因此，我是来 劝退 的。更精确的说，是希望大家 三思要不要这门课 。

🚀优点繁多，其他评论已备述。给我的最深刻印象是全程脱稿却几乎不会漏东西、也不会卡壳。只是一时想不起来的话，会“呃——”得缓冲一下。当成是火箭的多级推进就行（笑

根据自身体验，做了个分数表，可以自测一下（初始分10分）：

• 没学拓扑：-6
• 与流形同一学期接触(即没提前学过)拓扑：-3
• 本学期选了n学分课（n至少28）：-\(\frac{n-28}{2}\)
• 是本科生且想拿优秀：-1
• 还想拿4.3：-1
• 兴趣方向不是几何：-2
• 对于拓展内容不太在意：-1
• ......

暂时就想起这些。如果你扣到了5分以下，那么个人不建议硬着头皮冲。

为什么呢？因为除了第一条我全占了，然后全程体验很痛苦，最终不舍但理智地选择放弃修读，遗憾离场.jpg。

接下来从 个人体验 出发解释一下。

我的流形和拓扑都是在大三上选的，之前看学长们提到“流形和拓扑可以同时学”，于是最开始很放心。然而，第一次作业给了我当头一棒：

每个字我都认识，但就是不知道怎么做

举个例子，就第一周作业第一题，拓扑群那里，我压根想不到要构造一个\(V\cap V^{-1}\) 。事实上，每题的题干我都能看懂，答案也能都明白，但让我想，不可能想出来。

第二次作业更是，直接用上了覆叠空间。那时候拓扑才进行到连续函数，我必不可能做出这道题，甚至抄别人的都抄不懂。

为什么不说第三次作业呢？因为那周有难题，我抄不到，遂摆（

除去作业，对拓扑的不熟练导致有时候上课也跟不上。比如“连续函数把紧集打到紧集”这一如今张口就来的结论，当时还要反应一会儿，这种gap积累多了，听课就跟不上了。因此，我就卡在Sard定理那里了...

虽然但是，即使不熟练，课下多花点时间，也是能补回来的，尤其是🚀讲义也很详细。然而不是我偷懒（嘴硬），而是时间不允许。第一个月结束的时候，我才发现在其他课已经选了 34学分 的基础上，再冲🔥流形是多么莽撞的操作。yysy，这门课实际工作量至少6学分。

由于拓扑基础不扎实，前两周的作业我几乎是“取其精华，凑成糟粕”。即便如此，这也得花费我一下午+一晚上，才能勉勉强强赶在22：30的ddl之前发送过去。一般课程都是在期中后上强度，而这门课是一开始就给了我个下马威。

因此，对于大部分其他数学课压力很重的大三基数壬，还是有些煎熬的。

我的退课心路历程是这样的：

第一次作业不会写：5%

第二次作业还是不会写：20%

国庆补网课，单位分解的证明缕不明白：35%

运动会的三天假，看切空间破防：50%

第三次作业又双叒叕不会写，而且我常常抄的同学也不会写：90%

点进选课名单，发现本科生组基本全是我认识的佬：100%

可以说，大三和大四的几何强者几乎全挤在这门课里，想和他们抢优秀率，我还是没那个本事。以及不要相信：

“我大四了，不和你们抢优秀率”

这种鬼话。事实证明，大三和大四一起上的课，大四的总体成绩是比大三高的。大部分大四壬及格万岁，但卷王终究是卷王，即使是大四，他们不会接受GPA下降。

最后，🚀的作业里有很多拓展内容，如果知识面不够宽的话，写起来就是痛苦面具。所以想要学好这门课，课下自己去看一些东西是必要的。

哦对了，我参加了期中考试，但考前就已经下定决心退课了，所以真·裸考。 

大约半个小时把会做的做了，剩下时间纯纯摸🐟，最终喜闻乐见地在卷子上写了

Sard 嵌入定理

并且喜提全班倒一。

不过无所谓，我考期中主要目的是看看卷子，以及可能给其他人增加一个小论文名额。

如果明年还是🚀的话，我必选！ 

（虽然其他老师的话肯定也选）

最后附上一个乐子：

我：我晚上去五教，等你下了流形来拿吧。

学长：啊，你不来上课了吗？

我：我已经准备退了。

学长：为啥退了，🚀讲得多好？

我：主要是作业都写不完，课也跟不上。

学长：（他是学计算的）我觉得每周的内容花上两三天就能弄懂了。

我：你这学期几门数学？

学长：1门。

我：我9门。

学长：（？）

我：没提前选课的大三基数是这样的...

虽然可能听起来有些奇怪，或许只是出于本科时积攒下来的对于几何的好奇心，一个计算机专业研一新生正选了微分流形，试问缺乏数理基础的他会不会死得很惨呢？幸运的是，🚀 讲课很棒，讲义条理清晰，能把这门内容丰富又有深度（相对于和我一样只学过数分高代的学生）的课程明明白白地呈现出来。这更加坚定了这位学生把课程坚持下来的决心。

纵观整门课程，内容的确丰富，难度却并没有想象中的那么高，不太会出现讲义就是读不懂，作业就是想不出来的情况，即使真的不懂也有 GTM 218 这种写作极其详尽的教材参考。当然作业是课堂内容的一个很好的补充，值得好好去做，像课上一直没怎么细讲的向量丛会作为例子出现在习题中，而且也有一些好用的结论和好玩的话题（比如 Morse 函数，Lefschetz 映射），今年的助教也经常在习题课上讲这些话题的拓展，非常赞！

使课程难度不至于特别大的前提是，肯花时间来学。作业是每周布置一次，但两周一交，我是写作业比较慢的那种类型，每隔两周都要花整整 2～3 天的时间来完成作业（所以建议不要像我一样经常把两周作业一起拖到最后），如果还要完成 Not required 里个别非常困难的题目，则要更久。除此之外还要花出时间来复习讲义，读 218，如果之前都没有接触过流形，却把这些事情都拖到最后，不堪设想。

🚀 讲课总是带有一种激情的，这种激情又是集中在数学上的，让我在课堂上总能处于一种全神贯注的状态，一学期结束有种半年番完结了的感觉。

不想复习了，过来水评课社区

别的大家都说过了

我只想说建议老师小论文选题的时候考虑一下平衡性，期中期末出的有点太简单了，毕竟平均能及格还是离谱，作业题的一些not required难度过于夸张（专指Whitney C^∞拓扑，我看了整整一下午愣是没动笔），没讲到Chern-Weil也有点缺憾（毕竟似乎没别的课讲了）

不过以上都属于鸡蛋里挑骨头，火箭yyds

今年的流形相较18年、16年的减少了部分内容，作业、考试的难度也下调了不少，所以学下来感觉王老师的风格没有传闻中那么难顶（但其实还是很难顶的qwq）。看懂王老师的讲义、会写大部分作业题应付考试就绰绰有余了。218、流形导论、陈维恒、火箭讲义的思路各不相同，但作业题几乎都能在218上找到答案。

期中均分95/140，期末均分101/150（不算查卷加分），本科生都是神仙（确信）。期中\geq119的同学（大约前16%）才有资格写小论文，换言之想拿4.3前半学期也不能摆烂。

本科的时候想学点流形，但因为研究方向不同，一直没能腾出时间。现在完整的学了一学期的流形，也算了结了本科时的遗愿。

1.这门课23秋的信息似乎没加上，反正王老师主页有23秋微分流形 (ustc.edu.cn)

2.这学期的微分流形在王老师的主页中语言变成了中文

上课讲的很清楚，上课的速度比起上学期的拓扑慢了很多，量也没有以前那么大了，作业也有很多not required。课程也变得很友善。

这个学期因为要提前考试，所以最后一点向量丛和陈类的内容没有讲，不过和以前相比，在课程的最后加入了poincare-hopf 指标定理。这也是上学期拓扑说的在下学期流形的课上会讲的内容，听完感觉很感动。

调分了，感动。拓扑就一分没调，这次居然让我感受到了明显的成绩增长。

话说回来，感觉王老师讲课速度是不是下降了，好多次证明都没有讲完就下课了。可能老师确实比较注重概念，就在概念上花的时间比较多，考试也是这样。每次考试都有很多概念的题，不过感觉今年题出的很奇怪，卷子上有很多验证性质的题，这样的题可能让考场上做不是很合适。不过也好，出别的也做不太出来。