数分A3主要讲的是数项级数的敛散性、函数项级数敛散性和一致收敛、反常积分的一致收敛、含参积分的一致收敛、Fourier级数、Gamma/Beta函数等含参积分和特殊函数的计算。

期中小小的栽了，最后一题没注意到Tauber定理的妙用，所幸史先生在这里只扣了我们3分。当时感慨，原来自己并没有学 懂 这门课。为了迫使自己后半学期听课，我选择了上课不拿出课本，因为史先生上课讲的内容总是和他写的课本几乎一样。后半学期的内容非常简单，但听一遍课，和单纯看书上的文字，感觉是不一样的。史先生有些口头叙述的想法，或许在后面实分析、复分析里面还会出现。那时应该是第一次对“分析是极限的艺术”这句话产生了较为强烈的共鸣吧。

这门课唯一的缺点是：讲的内容实在太少了 ，史先生在教A2的时候就把数项级数那章快讲完了，我记得当时12月初就结课了，而且还是最后几次课明显放慢速度的情况下，而那年的期末考试在1月21日。

所幸史先生的作业不多，让我在那学期有时间把A3部分的所有习题做完，然后再做做谢惠民的书，并且读了一部分Stein的Fourier Analysis。 我个人认为数分A3这门课应该搭配Stein的Fourier Analysis这本书进行重新架构：数项级数提前到A1完成，A3前半学期讲课本的第15、18章，即函数项级数(及其“等价章节”第16章反常积分收敛性)+含参积分，A3后半学期着重上傅立叶分析（这是科大乃至全国各大高校数学专业教育里面严重缺失的一环）。 其实史先生课本的傅立叶级数部分写得非常好，我在国外教课的时候也是参照这本书教，比较缺失的是应用篇（Stein这本书的第4章，以及第2、3章的部分习题）以及对傅立叶变换的介绍（Stein书的第5、6章）。另外，这本书的第18章（含参积分）并不容忽视，除了介绍几类特殊积分和特殊函数以外，本章前两节介绍的含参积分的各类换序定理证明过程十分详细。有时间的话可以自己去推敲一下每个换序定理条件分别用在了哪一步，你会发现即使不用测度论的大炮轰蚊子，这些看上去很琐碎的东西也没有那么难。

而读Stein的这本书，并且完成一些习题，可以让你对古典傅立叶分析入个门，虽然真正的入门是调和分析。你可以学期傅立叶变换的一些的神奇应用。而且古典分析那些细致的技巧会在这本书里面得到体现，学了傅立叶分析之后，我觉得你可以重新思考一下“什么是导数”、“什么是分部积分”，这两个问题看上去很简单，实则支撑了偏微分方程整个领域至少壁江山。

准确地说，数分A3这门课、以及同在大二上的微分方程1（现在改名“微分方程引论”）是让我在分析方向受到启蒙的两门课。尤其是数分A3的学习让我理清了很多分析学里面非常基本的观念，第一次体会到“原来一门数学课背后的理论体系框架是这么的清晰明了”；而同时期的微分方程1则正好是数学分析知识的直接应用，两门课的关系有点像实调和分析和PDE2之间的相辅相成。

我的理解， 数学分析着重于函数的逐点行为分析 ，其目标正是第14、15章提到的 一致收敛 。因为在微积分这种逐点行为分析的框架下，只有“一致收敛”才能保证你能把求和号/积分号与导数/积分号交换，从而用性质好的函数逼近性质差的函数，并且让差的函数尽可能多地继承这些好的性质。而“一致收敛”是严格强于“逐点收敛”的。数学分析A3这门课就是揭晓答案的时候。

所以可见，数学分析的框架本身是排斥测度论的，后者的想法是不注重逐点行为，只要保证“坏点集”的测度足够小或者为0就行了。因此这解释了为什么我坚持认为数学分析课程应当舍弃Jordan测度以及对高维积分变量替换公式的证明。除此之外，我认为一些所谓的几何意义可以在课程里面简要介绍，但不要作为课程的一个必修部分存在。我的认知， 数学分析课程就应该讲纯粹的分析知识和技巧 ，先把分析的思维、理论框架给搞清楚， 而不是去好高骛远地强行介绍一些更深入的知识。这也说明了为什么我一直坚持认为数学分析课程使用“史先生的教材+Stein傅立叶分析”是合理的。 我们的课本内容虽然朴实无华，但能从1985年的讲义流传至今还在使用，也未像其它某些课本一样屡造批评，说明其实用性、易读性是受到广泛认可的。 底蕴是长年累月沉淀下来的，不是一口吃成个胖子。 这里要点名批评华东某兄弟院校所谓英才班的拔苗助长数分讲义，具体自己上网搜搜就知道了。

关于后继的学习：科大的分析课程总体进度是合理的，没有太大必要提前选课。如果你在高中就已经熟练掌握数分线代了，并且对分析方向感兴趣，一条可选择的路是在你巩固好数分A3函数项级数部分的前提下，在大一下学期去选实分析而不是复分析，沿着这条路往上一路打通。

考试难度：数学分析A3应该是大学四年里最简单的一门数学专业课了，比同一时期的数学分析B3简单很多。当然，我说的只是史先生考试的难度，如果追究到每一个定理的细节or理论本身其实并不容易，古典分析的暴力与精细并不是每个人都能领会。我还要提一句： 即便数分A3考试比较简单，每年阴沟翻船的学生还是非常多 。学的时候自己一定要花时间去理清楚每一个细节，并且去体会“一致收敛性”和此前数分A1内容之间的联系，以及多积累和思考一些反例，作业也一定要自己亲自动笔完成。

这门课让我记住了一句话，至今印象深刻：

“虽然你们以后都会忘记这些东西，但学过和没学过是不一样的。”

我记得那次期中考试（难度≤作业题）班上不及格的人很多（至少有三四十个），史先生感到痛心。考试之后的某个星期四上午第一节课，那天合肥大降温，外面北风呼啸还夹杂着冰冷的雨滴，全班180多人只来了60人不到，很难想象当时已经80岁高龄还身患糖尿病的老先生在课堂上花几十分钟给学生讲道理，只可惜翘课的人大概也听不到史先生作为长者的谆谆教诲就是了。期末考试之前，史先生还专门为期中考试不及格的同学组织了一次额外的习题课，给学生梳理知识，结果还是有不少人没去。最后总评挂掉二三十个人我觉得也是可以理解的。老师兢兢业业教课，对学生已经够宽容了，结果某些学生居然是这种学习态度，最后交出的答卷分数可能还不一定有自己年龄大，凭什么及格？

谁又能想到，15年9月初的一次变故，史先生离开了他工作了57年的科大讲台。14秋季的数分A3便是史先生最后一次任教这门课。

每学期的最后一堂课，史先生都会给我们讲述科大数学系那些不应该被遗忘的往事。印象中一次是讲到华罗庚先生的往事，第二次是讲了曾肯成先生的故事。讲到二位巨擘的过世，史先生总是情不自禁潸然泪下，仿佛几十年前的画面就在眼前浮现一般。10级的邵帅学长（现在是计算机学院的特任教授）曾经记录过史先生关于曾肯成的描述 https://www.zhihu.com/question/55737865

2008年，科大建校50周年之际，以史先生为首的老教师编撰了《中国科学技术大学数学五十年》这本纪事，记载了1958年建校到2008年这50年期间数学系经历的风风雨雨。90年代末到本世纪初，数学系师资大量流失，2008年左右科大数学系处于绝对的低谷期。真正的改观是2011年从理学院独立出来成立数学科学学院的时候。独立成院的第一届11级本科生开始正式使用教务系统里2013版的培养计划（大家可以上网搜“中国科学技术大学数学科学学院培养方案整理”，本人大概在五六年前上传的文档），他们夺得了科大迄今为止唯一一块丘赛团体金牌，并且对第二名北京大学的优势并不小。这届学生云集了不少水平非常高的前辈，大家感兴趣的话可以上网查一下当年丘赛金牌队的几位队员现在的状况，他们现在在各自领域的学术造诣仍然是非常高的。独立成院到现在的十几年，数学院的规模无论在基础数学方向还是偏应用的方向都扩大了很多（比如基础方向已经有拳头产品了，以及2012年科大把刘利刚老师从浙江大学挖过来等等），培养的本科生质量也是节节攀升。 我认为科大数院的学生都应该去读一读《中国科学技术大学数学五十年》这本书。如果你想知道这十几年变化有多大的话，你可以到老教务系统 https://mis.teach.ustc.edu.cn (校外访问需要走wvpn) 的公共查询里面搜一下1999年以来每年数院开设的课程，以及 中国科学技术大学-研究生课程查询 (ustc.edu.cn) 里面记载的研究生课。

如今的科大数院再也不是200X年那个孱弱到“需要一个老师教两门课才能维持运转，近世代数和复变排在大三上，大三PDE还在分离变量，学生甚至还要必修微机原理”的理学院数学系。深厚的底蕴让科大数学在短短十几年内从低谷回到如今的高度，我等后辈不应忘记诸位老师的倾心教育培养，更应当继承前辈的精神衣钵，奋发图强，让科大数学走向新的高度。