“大家看书的时候，主特征值和原理这个词不要搞混了”

不瞒各位，我今天才注意到这事（）感觉之前记笔记写的主理想可能都随手写成了“原理理想”：（

还有更多随机掉落小剧场，如：

《实变函数习题课结束了，下面是泛函分析习题课》

《我是猪》

《我不想在讲好的定理之前先喂大家一口石》（指椭圆正则性定理

可能和其他几个同学的评课不同, 我是正经学过PDE后才来选课的, 因此上这门课的时候并没有感觉到太多压力(因此也没有太多参考价值). 

感觉PDE2还是主要讲两种手段, 一个是逐点估计, 一个是能量估计. 逐点估计这里, 感觉比PDE1多的部分是Bernstein方法和Caccioppoli不等式, 前者的精神是"估计某个量, 就去计算其平方的\(-\Delta\)", 后者的精神粗糙看是分部积分, 不过具体来说则是超水平集的测度估计, 感觉这两个算是需要重点学一下的内容. 而对于能量估计, 感觉还是比较经典的东西(当然不经典的这课也不太能讲), 找到合适的乘子分部积分即可(所以PDE有一半约等于分部积分有感觉吗). 不过无论如何, 感觉还是要记住一句principle:
\({ \large考虑他的方程.}\)

毕竟PDE是源于自然, 描述物理的学科, 估计一个量, 就是在问这个东西的性质, 其性质本当服从对应的物理规律, 感觉是万变不离其宗的道理.

至于作业考试这都没啥好评价的, 绝对良心. 不过还是有一些遗憾, 某不懂分析的冯老师讲一个学期分析连分布理论都不提, 导致这课(还有高泛)居然还要浪费时间讲这些基础知识, 感觉没有人类了. 不过伟大的艺术总以悲剧为核心, 一门好课很难没有遗憾, 那么

\({\huge 至此, 已成艺术.}\)

本人24级树皮，对偏微分方程感兴趣所以这学期选了这门课，简单说说学这门课的感受

课程安排

这门课前半学期主要讲了sobolev空间和椭圆方程的内容，后半学期主要讲傅里叶分析，以及抛物、非线性薛定谔、波动三种带t的方程。整体上前半学期的进度比较平稳，后半学期因为补充了分布理论相关内容（据说本应在高等实分析课上讲？）导致在波动方程的位置进度有些失控，据老师说波动方程的好几个例子本来想讲但是没时间讲了。

整体上内容很多，老师上课进度也很快。课上老师也补充了很多内容，感觉听补充内容还是学到了很多东西的。

从学习体验上来看，感觉在sobolev空间（讲义第一章）和fourier变换刻画sobolev空间的部分明显感觉困难，在讲各种方程的时候难度感觉相对小很多。

作业

一共布置了五次作业，作业难度比较大，尤其是sobolev空间部分的作业，很多都得问ai才能做出来（感觉如果半个小时还是没有思路就可以直接求助ai了）。不过作业数量上不算特别多，花的时间也不算多。

考试

期中和期末考试都是 原题默写+原题改编+综合题+附加题 的形式，其中原题默写和原题改编的参考题目老师会提前给出，只要背诵并拟合就能在考试取得不错的分数（但注意不要过拟合了）。综合题和附加题合起来成为一道大题，期中和期末都是二选一。两次考试第二题的难度都低于第一题（可惜我两次都做的第一题，结果附加题分数就凄凉了）

这门课讲了什么？

虽然老师主页上有关于这门课的介绍，不过我还是在这里稍微谈谈对这门课自己的一些理解吧：

• sobolev空间

初次接触sobolev空间会感觉非常不适应，但是在学到后面的方程之后，就可以看到sobolev空间是面对方程最自然的空间。当面对粗糙边值的时候，我们不总是能期望经典解存在，甚至不能期待解有可微性，而为了做能量估计，我们需要分部积分，因此我们引入允许分部积分的弱导数作为经典导数的代替。而带有弱导数的、最自然的范数和完备banach空间就是sobolev空间。

我们定义：sobolev空间\(W^{k,p} : = \{u: \|u\|_{W^{k,p}}<+\infty\}\)，其中Sobolev范数\(\|u\|_{W^{k,p}}=\sum_{|\alpha|<=k}\|\partial^\alpha u\|_{L^p}\)，这里\(\alpha\)是多重指标。

学sobolev空间的时候，最重要的结论是sobolev嵌入定理（p低于临界的时候嵌入到Lp*，p大于临界的时候嵌入holder连续空间）用于获得各种不等式，紧嵌入用于获得强收敛，迹定理用于定义方程的边值（要着重理解迹定理的本质是green-guass公式，迹定理的目的就是为了保持这个公式在sobolov空间中成立）

sobolev空间相关定理的证明过程并不重要，主要是要记住相关结论

• 椭圆方程

设L是一个微分算子写成以下形式（这里约定上下标同时出现表示对该指标求和）：

\(L(u)=-\partial_i(a^{i j} \partial_ju) + b^i\partial_i u+cu\)

如果L满足：

\(a^{i j} \xi_i \xi_j >= \theta|\xi|\)

那么就称L是一个椭圆算子。如下方程称为（带有Dirichlet边值的）椭圆方程：

\(L(u) = f\) ，\(u|_{\partial U} = 0\)

在方程两边乘一个测试函数\(\phi\)并积分，形式上分部积分一次，我们就能得到椭圆方程弱解的定义：称u是弱解，若对一切测试函数都满足下式：

\(\int a^{i j}\partial_j u \partial_i \phi + b^i \partial_i u \phi + c u\phi dx = 0\)

可以见到，对\(\phi\)和u都只要求一阶弱可微性

研究一个方程，首先要讨论弱解的存在性和唯一性，对于椭圆方程来说最常用的是使用lax-milgram定理证明存在性和唯一性，但有时由于c太负导致强制性被破坏，此时就需要用fredholm二择一定理进行更精细的刻画，粗略的来说，椭圆方程解的情况和线性方程组很类似：要么有唯一解，要么f=0时的齐次方程有无数解

椭圆方程能给u带来非常好的性质，即椭圆正则性定理：u的弱可微性会比f的弱可微性高两阶。证明非常困难，但是它的想法是很简单的：如果差商有Lp有界性，那么就可以推出相应的弱导数存在。

同时在PDE1中学到的极值原理可以同步搬到现在更一般的椭圆方程上，此时要求解必须是经典解。由于失去了laplace算子的良好性质，这里极值原理的证明变得非常复杂，只需要记得结论即可

• 抛物方程

相比椭圆方程，抛物方程并不只是多了一个t变量，事实上，抛物方程的t项和x项有不同的弱导数Lp有界性，因此不能简单的把t视作新的分量。作为替代，我们引入时空sobolev空间，将解视作变量t的函数，取值在一个banach空间（变量x的函数所在的空间）。在时空sobolev空间中，我们可以定义抛物方程的弱解：

称u是抛物方程\(\partial_t u +Lu=f\)的弱解，若对一切测试函数\(\phi\)，对a.e. \(t \in [0, T]\)，成立：

\(\langle\partial_t u, \phi\rangle + \int a^{ij}\partial_j u \partial_i \phi + b^i \partial_i u \phi + c u\phi \space dx = \int f \phi \space dx\)

这里第一个符号表示对偶算子作用，我们对\(\partial_t u\)只要求它是一个线性算子，不要求它一定是函数。

从分离变量法出发，我们找到解空间的一组标准正交基，将方程限制在有限维空间上，可以得到限制在有限维空间的逼近序列。如果进一步证明了逼近序列的一致有界性，我们就能用弱紧性取子列，从而得到原方程的解。这就是Galerkin逼近过程，对于有界区域而言，这个逼近过程可以找出弱解的存在性和唯一性。进一步通过复杂的计算，我们还能得到抛物方程有正则性。

类似的一致有界+取子列的思想还体现在消失粘性法中，我们考虑

\(\partial_t u + b(t,x) \partial_x u = 0\)

称为双曲组，这里u，b都允许是向量值函数。如果我们添加一项粘性项，得到：

\(\partial_t u^\epsilon + b(t,x) \partial_x u^\epsilon  - \epsilon \Delta u^\epsilon= 0\)

如果进一步证明粘性方程的解有关于\(\epsilon\)一致的上界，那么就能将\(\epsilon\)趋向0来回到原本的双曲组。这种方法称为粘性消失法。但是要注意，虽然方程本身容易证明回到原本的双曲组，但是一般不能直接得到边值也会趋向原本双曲组的边值，边值的情况必须具体问题具体讨论。

• Fourier方法

从Fourier变换可以将求导转化为乘积受到启发，我们可以用Fourier变换反过来定义导数，进而反过来定义Sobolev空间。此时我们讨论的函数可以扩展成缓增分布（允许定义Fourier变换的广义函数）。这样定义的导数未必是整数阶的：

定义s阶非齐次Sobolev空间：\(H^s := \{u \in S' | \langle \xi \rangle^s\hat{u} \in L^2\}\)，定义非齐次Sobolev范数\(\|u\|_{H^s(U)} = \|\langle \xi \rangle^s u\|_{L^2(U)}\)

，这里\(\langle \xi \rangle = \sqrt{1+|\xi|^2}\)。在s为整数的时候，通过二项式展开，我们可以验证它和原本的sobolev空间是等价的。

我们还能定义s阶齐次Sobolev空间：\(\dot H^s:= \{u \in S'/P |\space |\xi|^s\hat{u} \in L^2(U)\}\)，P指全体多项式，之所以要商掉P是因为\(|\xi|^s \hat u\)=0不能推出u=0，只能推出u是多项式。我们类似的可以定义齐次Sobolev范数：\(\|u\|_{\dot H^s(U)} = \||\xi|^su\|_{L^2(U)}\)。

通过Fourier变换的方法，可以重新证明Sobolev空间的嵌入定理和迹定理。我们上面只刻画可积指标为2的Sobolev空间，而一般的指标也可以刻画，但是由于不像指标2时有plancherel恒等式，一般的指标必须要结合littlewood-paley理论来进行刻画。

• 非线性薛定谔方程

我们讨论的非线性薛定谔方程是形如以下形式的方程：

\(i \partial_t u + \Delta u = |u|^{p-1} u\)，\(u(0, x) = u_0(x)\)

不是所有的p都有物理意义，但是对这种薛定谔方程的研究给出了研究类似方程的一种模式。

首先用duhamel原理把薛定谔方程改写成积分形式：

\(u=e^{i t \Delta}u_0 - i \int_0^t e^{i(t-s)\Delta} |u|^{p-1} u(s, x) \space ds\)

我们将右边的式子记作映射T(u)，希望用压缩映射原理找到T的唯一不动点，从而可作为方程的唯一解。为此有两个需要做的事情：1、找到合适的解空间，让T是此空间上的映射 2、证明T是一个压缩映射。对于薛定谔方程而言，这两点往往需要使用strichartz估计来实现。

课堂上用strichartz估计来完成小初值时整体解存在性的证明，而在作业里面完成了cubic NLS的小初值整体解存在性证明。一般的情况则更加困难。

• 波方程

形如：

\(\partial_t^2 u - g^{i j} \partial_i\partial_j u = F\)，

\((u(0,x), \partial_tu(0,x)) = (u_0,u_1)\)

的方程称为波动方程。相比于椭圆和抛物方程，波方程缺少了正则性定理，相关性质也差了很多。

波方程的局部理论简单来说就只有一个方法：方程两边乘\(\partial_t u\)然后分部积分。这个方法的典型结果就是波方程的有限传播速度：即在光锥范围内，方程初值为0，那么将在整个光锥里面为0。这个结论在PDE1中已经出现过，并且通过显式解看出，而在这里主要通过能量估计来得出。

结语

在评课的最后，我想用章老师在最后一节课的一句话来收尾：PDE研究的问题应当是自然而真实的。或许因为课时的原因在课上大多数时间都是在推定理，但是课上讲到的一些例子还是能让人略微体会到一点。

总的来说，这门课是我在这两年体验几乎最好的一门课了，10分实至名归。

感觉匿不匿名差别不大，干脆取匿了。

本课程对我来说还是太困难了。本学期授课的主线内容为Sobolev空间、椭圆方程、抛物方程、分布理论与Fourier分析、Schrödinger方程、波动方程。相比于往年来说确实更加地现代，因为在授课过程中老师也介绍了如山路定理，Moser迭代，Littlewood–Paley理论等较为先进的方法（不过过于困难我只能大概知道在干啥）。关于上课，老师开了回放，所以我基本上都是在云端进行学习（） 我认为老师讲课还是较为精彩的：对于冗长的证明直接跳过选择欣然接受，并用通俗的语言跟大家讲重要内容，并且结合老师自己的理解以及科研感悟清楚地解释了问题的背景和动机。上课主要是按照讲义讲，讲义博采众长，前大半部分参考Evans，此外还摘录了一些其他著作中的命题，附录部分既总结了一些经常用的结论，并且补充了一些前置知识。

这门课给我最大的感受就是授课内容和作业考试题的云泥之别：上课的时候感觉十分困难，但实际上做作业或者考试时要求并不是很高。老师在授课时基本上都会告诉我们某个定理的背后有什么背景，或者为什么要这么做，不过我听课时还是常常云里雾里，因为一方面内容确实很难，另一方面我感觉许多东西还是需要自己验证一遍才能真正理解；至于作业，虽然第一次见到那些题时感觉十分困难，基本上全部都是通过借鉴同学或者求助强大的GPT才得以完成，不过回过头来看其实使用的手法要求不会很高，我已经掌握焚诀：估计\(\|u\|_{L^2}\)时导考虑方程两边同乘u再分部积分，估计\(\|\nabla u\|_{L^2}\)时考虑方程两边同乘\(\triangle u\)再分部积分，如果是波动方程，考虑方程两边同乘\(\partial_t u\)再分部积分，最后再疯狂使用Poincaré不等式、Young不等式、Hölder不等式等等进行放缩凑出Gronwall型估计。

对于考试，老师会划定原题默写范围，帮助同学们取得保底分，此外大题的前两题会是一些改编，如果平时能学会对应内容就大概率能写个七七八八，最后一题附加题应该较为综合且难度较大，期中考时我有幸看了眼附加题不过一点思路都没有，期末考沉浸式分部积分导致没做到附加题就收卷了，此外老师不强制大家都学会Fourier分析，凡是考到相关的老师都会出一道平行的题目给没学Fourier分析的题目给大家做，（考前我学了一天Fourier分析和薛定谔方程，考试看到那复杂的符号直接吓哭放弃了，但是据老师说好像更简单？）anyway老师奶力十足，不仅卷面分奶总评也奶，内容虽然难了些，不过总体来说还是非常推荐选课的

占个坑，等有空时详细补充一下这门课的学习体会（）

这门课总体体验是非常好的，除了evans上基本的椭圆抛物双曲方程，还补充了很多内容如Morser迭代、变分法和mountain-pass、分布理论以及分布定义的Sobolev空间、NLS方程。课程内容方面前面已有大佬介绍，这里不多赘述了。pde是一门依赖例子的学科，硬啃书上的抽象定理难以学到有价值的东西，重要的是提炼出定理证明中有价值的方法纳入自己的工具箱，在具体例子中反复调用以融汇贯通。所以课后作业在这门课程中尤为重要，章神布置的课后题很多都是抽象定理在某个具体例子上的呈现，虽然初次不一定能独立写出来（），通过求助ai和复盘也能有很多收获。考试题目包括默写大赛、改编题和原创题，能够写出默写大赛和改编题就能拿到不错的分数。总而言之，如果你以后需要用到pde，那么这门课一定是你不容错过的选择。