顶级好课，沈总我的神！

今年这课其实可以分为两个模块，前半部分是高等泛函分析，后半部分是一些topics的介绍。

前半部分

这里的泛函分析其实和本科泛函的内容关系不大，聚焦于无界自伴算子的谱理论，扰动理论和半群理论。

谱理论其实出发点比较基础，就是看一个算子在泛函演算后谱集落在哪，当然这样说并不精确，因为函数在逐点性质破坏后失去了刚性，谱映照当然要在测度意义来刻画（就是引入essRan，上课的时候黑板上抄错了）。当然这也没啥关系，后面我们引入了谱测度和谱积分获取了算子的全部信息，这里通过引入测度和积分很好的克服了函数正则性的问题，感觉是常见的数学哲学。但我总是觉得这个工具的理论价值高于实用价值，用起来更像是实分析而非具体的计算技术，也许看到某些文章才能真正理解这个理论吧。

算子扰动倒是真的有趣了，从相对界的刻画就能很好的理解算子直接的关系。如果不在意逻辑关系的话，这个理论就是在说，当算子\(B \)相对算子\(A\)够小，那么这个扰动就是可以吸收的（即算子\(A+B\)就能保持自伴性），而这个相对界是任意小时，这个算子的本质谱都不会改变（Weyl扰动）。这个事情就很好了，因为利用谱积分或者Riesz投影，我们去找离散谱就是在解方程，那么在理论意义下，谱集要怎么算就已经明朗了，至于计算，就不管泛函分析的事了。

至于半群理论，框架是很优雅的，能验证出强连续压缩半群后直接用Duhamel原理写出强解就完事了，但是问题本身就变成了验证Hille-Yosida的预解估计，感觉本质难度并未降低。好消息是经典的方程还是有不少已知的半群理论，拿来玩玩还是能感受到软分析的威力，甚至可以绕过一些正则性要求导出估计，感觉只有实践过才能知道其趣味。

后半部分

后半部分主要是介绍不同方程的一些基本问题，其实还是蛮难讲的，尤其要讲给初学者更是困难。因此老师也有点走马观花式教学的意思，提出了一些基本的问题（当然也非常困难），感觉是分享了一些方程现状（？）因为我只对流体方程有少许了解，所以老师在讲其他方程的时候我也只能是看看热闹。想什么量子级列和重整化弱解之类的内容我也仅仅是欣赏一二，感觉有点遗憾。尽管如此还是感觉到演化方程一家亲，大家或多或少还有点关联，希望有时间能多学点别的东西。

感觉人生是一种覆叠，高中时后悔小学看小说看少了，大学时后悔低年级数学学少了，人为何常常活在悔恨当中？

有次和沈总聊天，得知北大大三也有类似的课，感觉这课开在Math07有一些可惜，毕竟没什么人选，而这样的知识，要从多本书中总结得出，对自学也并非易事啊。

这个学期的参考书主要是Reed，Simon的现代数学物理方法Vol.1和少量Vol.2，不少证明感觉参考了Rudin的泛函分析，感觉Rudin还是比较好读，证明基本都写好了，R-S那本证明留作习题有点多，短时间内要想出证明还是比较困难。

言尽于此，多读点书吧。