本人现在在新加坡国立大学做博后，研究方向是流体PDE。继去年之后，我今年又在NUS教本科生的PDE课，于是十年前被Evans薄纱的回忆又开始攻击我，当年下了课一个人坐宿舍里捣鼓Evans的场景现在还历历在目，当然记忆犹新的还有2015年1月底期末考试那几天的暴雪。NUS这边每学期一共13个教学周，去掉公共假期、期中考试和复习课，大概也就11周的时间上课。而NUS这门课只假设学生学过数分线代ODE，因此很像我们科大的微分方程1后半部分，我来详细讲一讲我现在这个阶段对本科PDE课程教学的看法。

1、课程定位

我的理解是科大的微分方程1（即现在的“微分方程引论”）应被看成一门6学分的课。我认为这门课应该是数院专业课里面教学难度非常高的一门课：这门课本身只有4学分，意味着课时只有72，如果习题课、作业、老师授课水平、内容编排与衔接这四个环节有一个出现问题都可能造成学生体验很差。至于这门课是否应该拆课，我现在的观点是最好不要拆。原因在于拆课之后ODE/PDE各自的内容不够开满一学期。ODE确实有很多内容可以讲，但是在大二这个时间点学生的预备知识太少，像平面动力系统部分的很多定理没法证明，更不要说那些高阶奇点、分支理论的更深入内容了。PDE也是同样的问题，微分方程1只能讲古典解（因为没学实分析、泛函），像Evans第三章的一阶方程部分就已经用到了弱解的概念，大二学生在没有足够经验的情况下是很难理解一阶方程研究动机的。（其实PDE研究里面，一阶方程组尤其是高维守恒律方程是极其困难的）。另一方面，以后用不到微分方程的同学上完这一个学期就解放了，何必煎熬两个学期呢？

2、课程内容

（1）ODE部分。用丁同仁的书或者柳彬的书其实没什么好说的，内容比较标准。我觉得两个月的时间足够讲完丁同仁第1-6和第8章了。ODE部分最重要的还是皮卡迭代法、解的延伸、高阶方程和一阶方程组的互化（就当是复习线代吧）、平面动力系统简介。平面动力系统的内容本身很有意思，课本上涉及到周期解的内容本身就很难，只是我们上课讲得少罢了。如果时间允许的话应该多讲一些，感兴趣的同学可以去看国内早年一些写微分方程定性理论的书或者Hirsh & Smale的后半本。

（2）PDE部分。我觉得很难找到一本适合这门课的教材，或许以适当的顺序讲周蜀林的书（或者姜礼尚的数学物理方程 + Evans第2.2节）已经是在不反复切换教材情况下的最优解了。Strauss这种经常出现不严格证明，浪费太多篇幅在1维PDE上的书还是趁早扔掉为好。我2014年修这门课的时候院里指定用的是Evans的书。不可否认Evans确实是一本相当好的本科PDE教材，里面其实讲了很多现代PDE研究里面常用的思想方法（这个在高年级、研究生阶段接触到更多PDE之后就能体会到），但是Evans的书在一些细节处理方面、讲授顺序方面不太适合科大的教学进度。

我在NUS这边上课，因为有11-12周的教学时间，所以内容安排的灵活度相对科大来说高一些。

前半学期：只讲R^d中的PDE。

  （1）传输方程（包括半直线上是否应该加边界条件这个例子，这个例子的原型实际上是如何计算一阶双曲组边值问题的正确边界条件个数）

  （2）R^d中的波方程（1维 达朗贝尔公式→半直线的波方程(动机之一是解3D波方程)→3维 基尔霍夫公式→2维 泊松公式→有限传播速度，思路基本按照Evans 2.4发展）注意，讲有限传播速度的同时，相当于也介绍了能量法。另外我把证明波方程衰减速率的习题拿到课上讲了，这是为了后面讲的震荡积分补充内容做准备。

  （3）傅立叶变换法解R^d中的热方程（周蜀林第三章）。这三部分为基本内容。

  （4）此外，我今年打算补充一些关于震荡积分的基础知识（固相法），因为用傅立叶方法求解薛定谔、波方程最后得到的都是震荡积分形式，它们实际上可以视作支撑曲面测度的傅立叶变换，有多少衰减性取决于有多少方向的主曲率非零。（所以从这里可以看到为什么薛定谔方程的衰减速率是t^{-d/2}, 而波方程是t^{-(d-1)/2}，因为前者对应的是抛物面、后者对应锥面）讲完这个，还可以拓展一点与傅立叶限制性估计相关的东西，当然这些内容就不要在考试里面出现了。感兴趣的同学可以去看Stein泛函分析第8章的例子，或者Stein调和分析大板砖震荡积分那两章。

后半学期：边值问题。当区域带边之后，一般无法求得显式解。因此对椭圆/抛物方程，一方面可以利用极大值原理及其推论得到解的逐点性质；另一方面，在特殊区域，可以用分离变量法+傅立叶级数求解。分离变量的想法实际上就是Galerkin逼近的原型。内容大致如下： 

  （5）热方程极大值原理（周蜀林第三章）

  （6）分离变量求解[0,π]上的热/波方程、分离变量求解圆盘上的Poisson方程（周蜀林课本节选，其实上课没必要重复太多这方面内容，关键是要讲清楚分离变量最关键的是找合适基底展开，而这个基底cos nx, sin nx实际上是对应-Δ特征值问题的求解。我讲课是一定会讲Evans 6.5节那个“主特征值变分原理”，这个定理是分离变量法的理论基础，周蜀林书上有1D版本对应S-L边值问题的性质。这个定理的证明并不需要像Evans那样，而是可以看Strauss书第11章的变分法证明）

  （7）变分法简介（Evans第8.1、8.2、8.6节选）

  （8）调和函数、Poisson方程的性质（极大值原理、梯度估计，基本解、格林函数电像法等等，Evans 2.2节）

备课的时候，我的感受是。凡是涉及到具体求解方程的不应当追求一般维数（格林函数法除外，实际上这个方法并不能给出解析式，格林函数本身很难算），分离变量法波方程和热方程讲1D就好了，拉普拉斯方程讲个圆盘就够了，全空间的波方程讲清楚1、3、2维就已经够了。而凡是涉及到理论证明的（震荡积分、平均值/极大值原理、变分法、能量法），则应当追求定理的一般化，与微分方程2做好衔接。

  微分方程1并没有展开讲一阶方程，实际上科大根本没有讲一阶方程的课，也没有老师做相关方向。感兴趣的同学，可以看一下Evans第3、10、11章（H-J方程、黎曼问题），或者Alinhac的hyperbolic PDE(更偏波方程和几何的角度)，甚至可以看一下刘太平老师前年出的一本叫shock wave的书，里面详尽介绍了各种1D守恒律的研究。

  一阶方程真正难的地方是它的结构是完全暴露在外的，方程形式太简单导致你根本没法挖掘更深的东西。没有极大值原理，逐点估计只能用初值+右端项的时间积分硬算。能量估计也只能硬算，并没有任何正则性的提高。非线性方程还会出现特征线的挤压（例如Burgers方程）产生间断解（激波）。这类问题（尤其是以守恒律方程为主的一阶双曲组）在求得短时间解后更关注的是之后产生的间断如何演化。例如，几类基本波（接触间断、熵波、稀疏波、激波）的稳定性？如何从光滑初值演化出激波或者其它间断的奇性？这些问题在1维就已经很不容易，而高维难上加难。前者，即证明短时间存在性+能量估计，已经是可压缩流体最前沿的研究（没错，我现在做的问题就是这方面），而后者在高维情况除了可压缩欧拉方程（只有一类波方程的光锥）在2007年左右有Christodoulou几何方法的开山之作（以及后人的跟随和推广）以外并无太多进展，多特征系统（多个不同的波方程的光锥）的几何分析基本是一无所知。大家都知道激波的产生是特征面的挤压，但是多特征系统如何挤压？激波完了之后解以什么形式存在，特征面崩塌成什么样，哪位神仙如果能搞出来这方面的话应该很有希望拿土地奖了。

3、学习建议

ODE部分没有太多可说，算就是了。当ODE出现不需要多少计算量的考题的时候反而是很恐怖的事情，各位可以自己问问自己丁同仁第8章完全不看答案会做几个题，书上那些没证的定理有几个会用的……

PDE部分，仍然计算量很大。学微分方程是不可能摆脱巨量计算的，因为微分方程本身就是将各种物理现象、几何对象用各种分析工具做到很精确地量化刻画，而不是定性说明。各位以后如果学分析方向，学到调和分析、PDE2就会对此体会深刻。

但是除了能算、算对以外，更重要的是你要知道正确的计算方法，以及为什么你学的计算流程是这样的而不是那样的。前者，需要大家有足够的耐心，花至少2周的时间去搞清楚一般维数的分部积分公式、散度定理是怎么用的（比如自己还原出Evans 2.2、2.4节的所有计算细节）。后者，则是需要老师上课讲出来各步计算的动机。自己则需要通过仔细验证细节+反复斟酌计算过程来摸清楚里面的来龙去脉，体会PDE的计算方式。

根据我的观察，虽然这门课很难，但是很多同学对待这门课的认真程度确实不够：就像我上面说的一样，课后回去重复一遍计算是基本要求，不要叫苦连天，尽管这很花时间。

4、关于给分

现在的给分已经比多年前水多了，我觉得大家到了高年级还是应该慢慢看开。我就说一下我们这年的给分吧：全班182人，总评90分以上个位数，估计放到现在的话老宣早就被各位匿名朋友们网暴114514遍了吧。

这是大家的第一门核心专业课，我的理解是老师好像也没有义务给满优秀率（虽然老宣确实一如既往给分不好）。PDE这种hard core analysis可不是你知道方法动动嘴皮子就能做出来的。看见这两年赵班的考卷，卷子简单到我甚至怀疑这不是我认识的那个赵老板。。。

5、关于后继学习与方向选择

我认为在正常进度下微分方程1的PDE部分只够讲我上面提到的（1）-（3）和（5）、（6）、（8），顶多在习题课补充一点更高级的内容。微分方程1关注的古典PDE距离现代PDE的应用（甚至不能研究）实在太远了，大好时光不应该浪费在这些一两百年前的内容上，压缩到半学期是明智之举。我觉得微分方程2的内容也可以精简，以引入更多非线性方程的技巧而不是天天去算那些一般系数的线性方程。

关于课程的衔接， 可以看我关于微分方程2的评课。科大的分析基础课很全，有问题的地方更在于各门课内容的衔接上。以后的工作涉及到分析、PDE的同学们，下面这些课程将是重中之重。大二下：实分析，大三上：泛函分析、高等实分析。大三下：微分方程2（现代偏微分方程，这门课一定不能拖到后面学）、调和分析。另外可能还得根据需求学一些几何相关的知识（微分流形+黎曼几何）。微分方程2自从被取消保研必修之后选课人数直线下降，但是我认为这门课本身的定位就应该是高年级本科生课。

个人认为科大微分方程课程设计的眼光可以说是远超世界上绝大多数名校。近年科大数院毕业生里面分析和方程做得好的人数绝对不比所谓的TOP2少，这和科大数院开设几何、分析方向课程较为完全，以及这方面（绝大部分）老师的高质量授课都有很大的关系。方程本身需要的知识储备并不多，想从事微分方程理论研究的同学，请在修读上面提到的课程的同时，大三的适当时间点上找一个靠谱的老师做大研，早日上手读专著读文献比死读课本强十万甚至九万倍。学基础知识的时候也不需要太过纠结于背诵定理的的证明，更多的是要形成自己的理解，对不同类型的方程找自己的“感觉”，以及勇于攻坚克难的决心和毅力。

在学的时候可以问自己一些问题：

自己是更擅长逐点估计，还是积分估计？

自己是更擅长数学分析A1/B1里面的“技巧”，还是更擅长数学分析A3+实分析的“框架”？

自己是更擅长极大值原理的构造，还是傅立叶方法和能量法的运用？

自己更喜欢解决简单模型里面的古老难题，还是不怕艰苦去挑战复杂模型的基本问题？

选研究方向之前，最好想清楚上述几个问题。剩下的就看自己进入什么方向，自己能挖掘什么样的问题，这需要真正的造化和运气。

———分割线以下是2015年的PB13001112———

关于老宣的课堂：

这年的教材是《常微分方程教程》丁同仁（1~6、8章节选），Evans的PDE第2章和第四章前两节。ODE内容大概是各种计算，还有ODE解的存在唯一性定理（皮卡迭代、欧拉折线等）和少量平面动力系统的科普。PDE部分重点讲四类方程（热方程采用傅立叶方法）+分离变量法。

老宣风趣幽默，上课经常迫真冷笑话，，，起初上课很慢，讲课非常详细，好像在教小学生，常微分方程甚至讲了三个月。而且他在三个月内讲完ODE得益于中途让赵老师代课两周，这两周我们直接从丁同仁那本书第三章飙到了第六章。然而他发现PDE没太多时间讲了，所以上得比较快，最后Evans那本书上了第二章+第四章前两节，按计划应该是要上完第四章的。老宣其实在PDE部分讲得非常好（有一部分同学吐槽他讲课太快了，大概是因为之前太慢了），当然你要体会到这种“好”，得课后花时间去自己check书上的细节。

作业不多，每周大概5~10个题。有人说PDE作业计算量太大了，可PDE重要的就是计算量吧。最后的考试并不困难，期中考试都是常规题，期末考试除了一道计算题其它都是默写定理证明题（当然题量非常巨大）。总评按20作业+30期中+50期末给分，小论文+0~5分，没有调分。

————————

要记住，这可能是你在数院遇到的第一门具有挑战性的课程，不要指望再有数分和线代这种仁慈的课程了！你特么已经大二了！

希望这门好课不要被浪费掉，，，